Svarbiausias šiandienės matematikos bruožas yra tai, kad jos tyrimo objektai nėra realaus pasaulio dalis. Matematiniai objektai yra abstrakčių sąvokų apimties (ekstensijos) elementai. Skirtingai nuo realaus pasaulio objektų, matematinis objektas vienareikšmiškai apibrėžiamas savo savybėmis, o apie bet kuriuos du matematinius objektus visada galima pasakyti, ar jie yra lygūs, ar ne, bent jau iš principo. Pavyzdžiui, geometrinė tiesė nėra tapati jokiam realaus pasaulio objektui; geometrinė tiesė, nusidriekusi be galo ir be pradžios, neturi nei storio, nei pločio. Skamba paradoksaliai, bet realusis skaičius neturi nieko bendra su realiuoju pasauliu. Šiuolaikinėje matematikoje realieji skaičiai yra aksiomomis apibrėžtos aibės elementai.
Jei mokslu vadinsime patikimas žinias apie realiąją tikrovę, tai ką bendra su mokslu gali turėti čia apibūdinama matematika? Taip, šia prasme matematika nėra mokslas. Tačiau matematika, pati nebūdama realaus pasaulio pažinimas, suteikia tokiam pažinimui tai, kas svarbiausia – sąvokas. Mokslą kuria ne empiriniai faktai, o sąvokos. Todėl kitu atžvilgiu šiandienos matematika yra mokslinio pažinimo šaknys. Kadaise tokiomis šaknimis mokslui buvo filosofija, tada dar vadinta mokslų karaliene. Dabar šį titulą iš filosofijos perėmė matematika.
Skirtingai nuo gamtos mokslų teiginių, kiekvienas korektiškai formuluojamas matematikos teiginys yra teisingas arba klaidingas (trečio varianto nėra). Teiginių teisingumo kriterijus matematikoje yra ne jų atitiktis realybei, bet loginis pagrįstumas. Pirminiai matematikos objektai ir teiginiai formuluojami kaip aksiomos. Pavyzdžiui, teiginys, kad tarp geometrinės tiesės taškų ir realiųjų skaičių aibės elementų yra abipusė vienareikšmė atitiktis, yra aksioma. Gamtos mokslų atstovo požiūriu ši aksioma gali atrodyti kontroversiška, nes tolydumą išreiškiantis geometrinis kontinuumas tapatinamas su aibe, sudaryta iš atskirų elementų (realiųjų skaičių). Šią kontroversiją stiprina ir tai, kad realiuosius skaičius galima papildyti naujais matematiniais objektais: hiperrealiais, siurrealiais ir kitais skaičiais. Kita vertus, fizikoje laikas tapatinamas su realiųjų skaičių aibe. Dar sunkesnis klausimas, ar toks tapatinimas yra pagrįstas siekiant kaip galima adekvačiau apibūdinti realaus pasaulio laiką. Tas pats klausimas prasmingas ir kitoms fizikoje vartojamoms matematikos sąvokoms.
Kiekviena matematinė sąvoka gali tapti pasaulio pažinimo priemone. Mokslo istorija žino daugybę pavyzdžių, kai matematikų galvose gimusios matematinės sąvokos po daugelio metų tampa gamtos mokslų pažinimo instrumentais (grupių teorija – kvantinėje mechanikoje, Riemanno geometrija – reliatyvumo teorijoje ir t. t.). Visuomenės moksluose atitinkamai interpretuojama matematinė sąvoka ne tik tampa pažinimo instrumentu, bet ir pati kuria realybę. Pavyzdžiui, bendroji pusiausvyra ekonomikoje yra tik tam tikru būdu interpretuota matematinė sąvoka, o šios sąvokos ir jos ekstensijos tyrimas yra neoklasikinės ekonomikos tyrimo objektas. Gilus ekonomikos supratimas yra neįmanomas neišmanant šiuolaikinės matematikos.
Matematikos tyrimais dažnai siekiama nustatyti, ar tam tikri matematiniai objektai yra lygūs (pavyzdžiui, ar lygties sprendinys yra lygus tam tikram skaičiui). Taip pat gali būti labai įdomu, ar tarp matematinių objektų yra toks, kuris turi tam tikras savybes (pavyzdžiui, dažnai pakanka žinoti, kad lygties sprendinys egzistuoja, nežinant jo konkrečios reikšmės). Šių ir kitų tikslų siekiama pasitelkiant matematinį įrodymą. Formaliai kalbant, matematinis įrodymas yra loginio ryšio tarp sąvokų nustatymas. Neformaliai kalbant, įrodymo žinojimas suteikia tai, kas matematikui yra svarbiausia: supratimą, kodėl matematinis teiginys yra teisingas ar klaidingas. Todėl ir įrodymas turėtų būti toks, kurį gali suvokti konkretaus žmogaus protas. Tokio įrodymo paieška remiasi ne tik ir ne tiek matematine intuicija, kiek matematinių objektų grožio ir harmonijos suvokimu.
Jei tai, kas čia rašoma apie matematiką, atrodo nauja ir netikėta, tai nenuostabu. Per pastaruosius du dešimtmečius Lietuvoje iš viešosios erdvės laipsniškai išnyko tekstai apie matematiką. Juos pakeitė, matyt, visuomenei labiau aktualūs tekstai apie numerologiją, astrologiją, chiromantiją ir kitus panašius dalykus. Tuo tarpu dabartinė mokyklinio ugdymo programa net nekelia sau tikslo supažindinti moksleivius su šiandienos matematika. Tad auga karta, kuri vis mažiau žino apie vieną žmonijos kultūros dalį – mokslinio pažinimo šaknis.

ŠALTINIS: Universiteto naujienos